警察与小偷博弈

在某个小镇上只有一名警察，整个小镇的治安全部由他负责。此时，我们假设这个小镇上的一头有一家银行，而小镇的另一头有一个酒馆；若这个小镇上只有一名小偷，那么由于他不具备分身术，所以当这个小镇上的警察在小镇的一头巡视时，小偷只能去小镇的另一头采取他的偷盗行动。

假想一下，当小镇的警察正好在小偷采取行动的地方巡视，便能不费吹灰之力地抓住小偷；若是小镇的警察的巡视方向恰好与小偷采取偷盗行为的方向相反，那么小偷便能在不被警察抓到的情况下成功偷盗。

此时，我们设定此小镇上的银行中需要保护财产的金额为2万元，而小镇的酒馆中需要保护的金额只有1万元。那么，警察应该如何采取巡视行动，才能将小镇的损失降低到最小呢？

警察最好的做法是利用抽签的方式决定去小镇的银行还是酒店。由于小镇银行中所需保护的财产是酒馆的两倍，因此用1、2号两个签表示小镇的银行，用3号签表示酒馆，这样一来，警察去银行巡视的机会将达到2/3，而去酒馆巡视的机会将是1/3。

在小镇警察的此种策略下，小偷的占优策略则要与警察相反，同样采用抽签的方式，与警察不同的是小偷用1、2号签表示去酒馆行动，而用3号签表示去银行，由此一来，小偷去酒馆行动的概率是2/3，而去银行的概率仅有1/3。

在此前提下，即警察和小偷都是选择最佳占优策略时，我们将会获得一个十分有趣的结果，即警察和小偷成功的概率是相等的。（此处略去计算过程）

事实上，警察与小偷的博弈需要有双方一种混合型的策略和思路。简单来说，警察和小偷博弈与我们生活中经常玩的“剪刀、石头、布”游戏更加相似。在这种游戏中，并不存在纳什均衡，因为参与此游戏的每个人出“剪刀”“石头”“布”的情况都是随机的，而且游戏的参与者不会让对方推断出自己的策略，甚至自己在此游戏中的策略倾向性。因为，当对方了解到自己的策略倾向时，自己便会面临极大的输掉游戏的风险。

其实，透过警察与小偷博弈中的混合策略均衡，可以看出博弈中的每个参与者并不会太过在意自己所做出的决策。实际上，当我们需要采取混合策略时，便要找到自己所要做出的策略方法，并且要让对手觉得你所做出的策略不会影响到他们。

这种方式似乎非常混沌，但它是前面所讲到的零和博弈的另一种随机转换。因为它要求参与者必须时刻保持警惕，稍微发现对方有违反规则的行动，便需要立刻采取决策并实施行动。若是对方的确做出了某种较为糟糕的行动，那便说明他们选择了最“愚蠢”的策略。

在警察和小偷的博弈中，不论是选择了混合还是随机的策略，都不代表参与者在做出行动时是盲目选择。这其中仍然包含着很强的策略性，博弈取胜的要点在于运用其中的偶然性，针对对方是否发现你的某些策略性行为做出及时应对，进而保证自己成功的概率。